Математическое моделирование: границы и квалификация моделей

15882-1401979507-16Здравствуйте уважаемые ученики! Сегодня мы затронем очень на первый взгляд трудную тему, но если разобраться тема является не просто легкой, но и интересной. Преподаватели нашей школы по математике  и физике онлайн успешно занимаются с учениками по всем курсам математики — базовый курс, средний курс и высшая математика и уже помогли многим школьникам и студентам разобраться в самых казалось бы сложных темах, показав, что математика эта очень простая и интересная наука.

Окружающий мир (природа, общество) – многообразен, сложен, динамично изменяется. Знания, к сожалению, не способны раскрывать все реальные системы. Выход один – изучать модели систем и, с определенными оговорками (гипотезами), применять полученный анализ к проявлениям систем.
Модель – это описание системы или ее представление, которое замещает при определенных гипотезах другой, «уже изучаемой» системой.
Моделирование – метод такого изучения, описания и использования получаемых знаний. Науки, технологии развиваются моделированием, сами они развивают метод. Математическое моделирование или моделирование средствами математики, позволяет вникать в системы живой и неживой природы, это мост соединяющий берег знаний с берегом реальных систем, процессов. Могут быть оба берега одного происхождения? — Да, модель может отображать одно знание на другое или один объект на другой.
Пример. Отображая проект дома на реальный можно построить дом. Описывая физические знания (физическую систему) математическими (математическим аппаратом) получаем модель физико-математическую. И. Ньютон, рассматривая тела с массами m, ускорением a и измеряя воздействующую при скатывании тела по поверхности силы F, получил экспериментально закон: F=ma. В этой физико-математической модели учтены гипотезы:
1) поверхность без трения;
2) среда – вакуум (нулевое сопротивление воздуха);
3) масса и ускорение постоянные.
Очевидно, гипотезы сильно ограничивают применение модели, в основном, рамками изучения в школе. Для практического применения, например, запуска ракеты, необходимы более «тонкие» варианты закона Ньютона, например, учитывающие изменение массы ракеты при сгорании топлива.
Математическое моделирование позволяет переносить знания, информацию из реальности (от оригинала) к модели. И наоборот.
Моделирование – это триединая задача, которая включает подзадачи: построить, исследовать и использовать модель.
По «глубине» охвата оригинала, бывает:
эмпирическая модель  (на базе эмпирических фактов);
теоретическая модель (на базе теоретических, математических обычно, описаний);
полуэмпирическая (полутеоретическая) модель.

Квалификация моделей

Классификация моделей – также разнообразна:
статическая, в модели не учитывается время, например, F=am;
динамическая, в модели учитывается временной параметр, например, F(t)=a(t)m(t);
дискретная, описывающая систему лишь дискретно, например, последовательностью пройдённых расстояний S1=g/2, S2=2g, …, S10=50g;
непрерывная, описывающая процесс для заданного диапазона времени, например, S=gt2/2 (0<t<100);
детерминированная или недетерминированная модель, без учета или с учетом случайных факторов, например, вышеприведенные – детерминированные, а недетерминированной будет модель S(p)=g(p)t2/2, где p – сила порыва ветра при уже несвободном падении тела;
геометрическая модель, графическая, представленная геометрическими образами, например, макет дома или многоугольник на экране компьютера как модель окружности и др.
Пример. Клеточно-автоматная, динамическая, не обязательно детерминированная, дискретная 2D-геометрическая модель «Жизнь» Д.Конвея (игру можно запустить, например, http://life.written.ru/ (копируйте ссылку)).

Границы моделей

Границы моделей – часто условные, но всегда верны свойства:
конечность (отображения оригинала);
упрощенность (простата исследования модели);
адекватность (успешное описание оригинала);
доступность и технологичность (исследования модели);
информативность (модель дает новую информацию об оригинале);
устойчивость (модель обеспечивает устойчивость результатов) и др.
Наука моделирования базируется на математических знаниях, моделях знаний, таких важных математических методах, как формализация, абстрагирование, виртуализация и др.